Calcule a integral definida:

∫ 3 3 3 d x x 2 x 2 + 9

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos x 2 + 9 = x 2 + 3 2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 3 tan ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 3 tan ⁡ θ d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 9 tan 2 ⁡ θ     →     x 2 + 9 = 9 tan 2 ⁡ θ + 9 = 9 tan 2 ⁡ θ + 1 ⏞ sec 2 ⁡ θ = 3 2 sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

∫ d x x 2 x 2 + 9 = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ 9 tan 2 ⁡ θ 3 2 sec 2 ⁡ θ = 1 9 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ = 1 9 ∫ sec ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ

= 1 9 ∫ 1 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Aqui nós vamos usar uma outra substituição sen ⁡ θ = u →   cos ⁡ θ d θ = d u .

1 9 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ d u u 2 = 1 9 ∫ u - 2 d u = - 1 9 u - 1 + C = - 1 9 u + C = - 1 9 sen ⁡ θ + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 3 tan ⁡ θ , então:

∫ d x x x 2 + 9 = - 1 9 sen ⁡ θ + C

Para achar sen ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no início e utilizamos relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x x 2 + a 2 = x x 2 + 9    

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x x x 2 + 9 = - 1 9 sen ⁡ θ + C = - 1 9 x x 2 + 9 + C = - x 2 + 9 9 x + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 3 3 3 d x x 2 x 2 + 9 = - x 2 + 9 9 x 3 3 3 = - 3 3 2 + 9 9 ⋅ 3 3 - - 3 + 9 9 3

= - 27 + 9 9 ⋅ 3 3 + 12 9 3 = - 36 9 ⋅ 3 3 + 2 3 9 3 = - 6 9 ⋅ 3 3 + 2 3 9 3

= 2 3 - 2 9 3 = 2 3 - 1 9 3 = 2 3 3 - 1 9 ⋅ 3 = 2 3 - 3 27 = - 2 3 - 3 27

E esse é o resultado procurado.

Resposta

∫ 3 3 3 d x x 2 x 2 + 9 = - 2 3 - 3 27

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