Calcule a integral definida:

∫ 4 6 d x x x 2 - 4

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver a integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos x 2 - 4 = x 2 - 2 2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 2 sec ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 2 sec ⁡ θ d x = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 4 sec 2 ⁡ θ     →     x 2 - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 1 ⏞ tan 2 ⁡ θ = 2 2 tan 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

∫ d x x x 2 - 4 = ∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 2 sec ⁡ θ 2 2 tan 2 ⁡ θ = 1 2 ∫ tan ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ d θ = θ 2 + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Vamos olhar a expressão da tangente no quadrinho inicial e depois usar a função inversa. Olhando lá, nós temos a seguinte relação:

tan ⁡ θ = x 2 - a 2 a = x 2 - 4 2

E isso implica que θ = tan - 1 ⁡ x 2 - 4 2

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x x x 2 - 4 = θ 2 + C = 1 2 tan - 1 ⁡ x 2 - 4 2 + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 4 6 d x x x 2 - 4 = = 1 2 tan - 1 ⁡ x 2 - 4 2 4 6

= 1 2 tan - 1 ⁡ 6 2 - 4 2 - tan - 1 ⁡ 4 2 - 4 2

= 1 2 tan - 1 ⁡ 32 2 - tan - 1 ⁡ 12 2

= 1 2 tan - 1 ⁡ 4 2 2 - tan - 1 ⁡ 2 3 2

= 1 2 tan - 1 ⁡ 2 2 - tan - 1 ⁡ 3 ⏟ π 3

∫ 4 6 d x x x 2 - 4 = 1 2 tan - 1 ⁡ 2 2 - π 3

E esse é o resultado procurado.

Resposta

∫ 4 6 d x x x 2 - 4 = 1 2 tan - 1 ⁡ 2 2 - π 3

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