38. Calcule a integral

∫ π / 4 π / 2 csc 4 ⁡ x cot 4 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot 2 ⁡ ( α ) + 1 = csc 2 ⁡ ( α ) .

Então, substituindo

∫ csc 4 ⁡ x cot 4 ⁡ x d x = ∫ cot 4 ⁡ x csc 2 ⁡ x csc 2 ⁡ x d x = ∫ cot 4 ⁡ x cot 2 ⁡ x + 1 csc 2 ⁡ ( x ) d x

Vamos resolver pelo método da substituição

Seja u = c o t ⁡ ( x ) , temos que d u = - csc 2 ⁡ x d x , então, substituindo

∫ cot 4 ⁡ x cot 2 ⁡ x + 1 csc 2 ⁡ x d x = ∫ u 4 u 2 + 1 - d u = ∫ - u 6 - u 4 d u

= - 1 7 u 7 - 1 5 u 5

E agora substituindo novamente u e colocando os limites de integração temos que:

∫ π / 4 π / 2 csc 4 ⁡ x cot 4 ⁡ ( x ) d x = - 1 7 cot 7 ⁡ x   - 1 5 cot 5 ⁡ x π / 4 π / 2

= - 1 7 cot 7 ⁡ π 2   - 1 5 cot 5 ⁡ π 2 - - 1 7 cot 7 ⁡ π 4   - 1 5 cot 5 ⁡ π 4

= - 1 7 0 7 - 1 5 0 5 - - 1 7 - 1 5 = 12 35

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ π / 4 π / 2 csc 4 ⁡ x cot 4 ⁡ ( x ) d x = 12 35

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