Enunciado

Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites

lim x → ∞ ⁡ 9 x 3 + 8 x - 4 3 - 5 x + x 3

Passo 1

Belejóia meu povo, esse exercício aqui parece ser feio mas não é hahaha cola aqui com a gente.

Se a gente tentar esse jeito mais simples, achamos uma indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ 9 x 3 + 8 x - 4 3 - 5 x + x 3 = ∞ ∞

Então vamos fazer algumas manipulaçõezinhas e deixar ele mais arrumadinho. Mas que manipulações? Porque tem muitas transformações que podemos fazer.

SEGURA ESSA DICA!

Como temos várias potencias de x e o limite é pro infinito, vamos colocar a maior potência de x em evidência, que no caso aqui é x 3 . Isso vai nos ajudar porque assim conseguimos anular vários termos, porque um número finito dividido por infinito é zero:

l i m x → ∞ 1 x = 0  

Bora lá!

Passo 2

Vamos primeiro isolar o termo de maior grau da função, nesse temos o x 3 dentro da raiz:

lim x → ∞ ⁡ 9 x 3 + 8 x - 4 3 - 5 x + x 3 = lim x → ∞ ⁡ x 3 9 + 8 x x 3 - 4 x 3 x 3 3 x 3 - 5 x x 3 + 1

E assim simplificamos:

lim x → ∞ ⁡ 9 + 8 x 2 - 4 x 3 3 x 3 - 5 x 2 + 1

Passo 3

Agora que começou a ficar bonito, vamos aplicar a propriedade dos limites de raízes e passar o limite pra dentro dela, ou seja

lim x → ∞ ⁡ 9 + 8 x 2 - 4 x 3 3 x 3 - 5 x 2 + 1 = l i m x → ∞ 9 + 8 x 2 - 4 x 3 l i m x → ∞ 3 x 3 - 5 x 2 + 1

Também temos uma propriedade que diz que o limite da soma é a soma dos limites, então

l i m x → ∞ 9 + l i m x → ∞ 8 x 2 - l i m x → ∞ 4 x 3 l i m x → ∞ 3 x 3 - l i m x → ∞ 5 x 2 + l i m x → ∞ 1

E olha só o que façamos no passo 1! Temos vários termos fracionários com números divididos por potências de x e todos eles valem zero:

l i m x → ∞ 9 + 0 - 0 0 - 0 + l i m x → ∞ 1

Por fim, o limite da constante é a própria constante

9 + 0 - 0 0 - 0 + 1 = 9 = 3

Agora com o limite dibrado, ficamos sagaz com a resposta!

lim x → ∞ ⁡ 9 x 3 + 8 x - 4 3 - 5 x + x 3 = 3

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 9 x 3 + 8 x - 4 3 - 5 x + x 3 = 3

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