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38. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

f x , y = x y x 2 + x y + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0                                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

A função que ele nos deu foi:

f x , y = x y x 2 + x y + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0                                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Inicialmente, vamos verificar se a função é contínua no intervalo em que ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) :

Por ser uma função racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Assim,

x 2 + x y + y 2 = 0

Logo,

x 2 + y 2 = - x y

Isso só acontece quando x , y = ( 0,0 ) . Porém, esse ponto não faz parte do domínio. Assim f ( x , y ) é contínua nesse intervalo.

Passo 2

Agora temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto 0,0 .   Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de ( 0,0 ) .

L = lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + x y + y 2  

Vamos aproximar a função pela reta x = 0 :

f 0 , y = 0 ⋅ y 0 + 0 ⋅ y + y 2 = 0

Vamos aproximar a função pela reta y = 0 :

f x , 0 = x . 0 x 2 + x . 0 + 0 = 0

Vamos aproximar a função pela reta y = x :

f x , x = x . x x 2 + x . x + x 2 = x 2 3 x 2 = 1 3

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, então o limite não existe!

Passo 3

Assim, vemos que f ( x , y ) possui uma descontinuidade no ponto ( 0,0 ) . Portanto, o maior conjunto no qual a função é contínua será todos os pontos, exceto o ( 0,0 ) .

Resposta

O maior conjunto no qual a f é contínua é { x , y | ( x , y ) ≠ ( 0,0 )   } .

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