Discuta a continuidade das funções abaixo:

b   f x ,   y = x 3 x 2 + y 2 ,               s e   x ,   y ≠ 0 ,   0 0           ,           s e   x ,   y = 0 ,   0

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Uma ideia para resolvermos esse exercício é usar o valor da função no ponto 0 ,   0 , ou seja:

f 0 ,   0 = 0

E verificar se o limite da função f x ,   y tendendo a esse ponto resulta no mesmo valor. Colocando isso de forma matematicamente, temos que verificar a seguinte equação:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y = 0

Passo 2

Como os valores de x e y são bem próximos de zero, mas não exatamente nulos, podemos dizer que a função para o limite é:

f x ,   y = x 3 x 2 + y 2

Então, precisamos calcular:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 x 2 + y 2

Se substituirmos direto o valor das variáveis, teremos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 = 0 0

Que é um resultado indeterminado e, por isso, precisamos resolver isso de outra forma. Vamos calcular o limite para os valores em cada eixo coordenado (nos eixos de x e y ) e também calcular o limite para os valores na reta y = x .

Passo 3

Dessa forma, para o eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

lim x → 0 ⁡ f x ,   0 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 + 0 2

Ou seja:

lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 = 0

Agora, para o eixo dos y , x = 0 , tal que:

lim y → 0 ⁡ f 0 ,   y = lim y → 0 ⁡ 0 3 0 2 + y 2 = 0

E, por fim, substituindo y = x :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 + x 2

Temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 3 2 x 2 = 0

Que é um resultado determinado.

Assim, visto que os limites tiveram o mesmo resultado, concluímos que a função é contínua para x ,   y = 0 ,   0 . Ainda, como não há outros pontos além de 0 ,   0 ou outras substituições que tornariam a nossa função indefinida, ela é contínua para todos os valores, ou seja, em R 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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