Enunciado

Discuta a continuidade das funções abaixo:

(b) f (x , y) = {[[(x^3)/(x^2 + y^2) , s e (x , y) != (0 , 0)],[0 , s e (x , y) = (0 , 0)]])

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Uma ideia para resolvermos esse exercício é usar o valor da função no ponto (0 , 0) , ou seja:

f (0 , 0) = 0

E verificar se o limite da função f (x , y) tendendo a esse ponto resulta no mesmo valor. Colocando isso de forma matematicamente, temos que verificar a seguinte equação:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) f (x , y) = 0

Passo 2

Como os valores de x e y são bem próximos de zero, mas não exatamente nulos, podemos dizer que a função para o limite é:

f (x , y) = (x^3)/(x^2 + y^2)

Então, precisamos calcular:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3)/(x^2 + y^2)

Se substituirmos direto o valor das variáveis, teremos:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3)/(x^2 + y^2) = (0)/(0)

Que é um resultado indeterminado e, por isso, precisamos resolver isso de outra forma. Vamos calcular o limite para os valores em cada eixo coordenado (nos eixos de x e y ) e também calcular o limite para os valores na reta y = x .

Passo 3

Dessa forma, para o eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

underset(x -> 0)(lim) f (x , 0) = underset(x -> 0)(lim) (x^3)/(x^2 + (0)^2)

Ou seja:

underset(x -> 0)(lim) (x^3)/(x^2) = 0

Agora, para o eixo dos y , x = 0 , tal que:

underset(y -> 0)(lim) f (0 , y) = underset(y -> 0)(lim) ((0)^3)/((0)^2 + y^2) = 0

E, por fim, substituindo y = x :

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3)/(x^2 + y^2) = underset(x -> 0)(lim) (x^3)/(x^2 + x^2)

Temos:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x^3)/(x^2 + y^2) = underset(x -> 0)(lim) (x^3)/(2 x^2) = 0

Que é um resultado determinado.

Assim, visto que os limites tiveram o mesmo resultado, concluímos que a função é contínua para (x , y) = (0 , 0) . Ainda, como não há outros pontos além de (0 , 0) ou outras substituições que tornariam a nossa função indefinida, ela é contínua para todos os valores, ou seja, em R^2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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