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39. O volume de um balão está decrescendo a uma taxa proporcional à sua área superficial. Mostre que o raio do balão diminui a uma taxa constante.

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

d V d t = k d A d t , isto é, o taxa de variação do volume é proporcional a da área superficial do balão.

Com base nisso, encontraremos d r d t .

Passo 2

O volume de um balão esférico é dado por

V = 4 π r 3 3

E a área superficial:

A = 4 π r 2

Passo 3

Voltando para afirmação da qustão:

d V d t = k d A d t

Como já temos A e V, podemos calcular a derivada de cada um:

4 π 3 r 2 3 d r d t = k 4 π 2 r d r d t

Resposta

d y d t = - 0,25 m / s

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