Enunciado

41. Um sólido de revolução é formado pela rotação, em torno do eixo x, da curva limitada pela curva y = 2 x + 4 ,   pelo eixo x, pelo eixo y, e pela reta x=c (c>0). Para que valor de c o volume será de 12 π unidades cúbicas?

Passo 1

Antes de tudo, vamos esboçar essas curvas,

Rotacionado-as em torno do eixo x, temos

Se fizermos um corte no meio desse sólido, obteriámos uma fatia no formato de disco.

Passo 2

A aréa do disco

A x = π 2 x + 4 2

A x = π ( 2 x + 4 )

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A x d x

V = ∫ 0 c π ( 2 x + 4 ) d x

Lembrando que x está variando entre 0 e c.

Resolvendo a integral:

= π 2 ⋅ x 2 2 + 4 x | 0 c

= π c 2 + 4 c

Aaaahh, mas a questão não acaba por aí, lembra que o volume tem que ser 12 π   ?

Então, vamos lá!

π c 2 + 4 c = 12 π

c 2 + 4 c - 12 = 0  

Resolvendo essa equação do segundo grau obteremos dois valores para c: 2 e -6, mas c tem que ser maior que zero, portanto, c = 2 .

Resposta

c = 2

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