Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = 1 + sec ⁡ x ,   y = 3 ;           e m   t o r n o   d e   y = 1

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as seguintes curvas

y = 1 + sec ⁡ x ,   y = 3

E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y = 1 da região delimitada pelas curvas acima! Depois disso temos que esboçar a região!

Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema. Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas! Temos uma função trigonométrica:

y = 1 + sec ⁡ x

E uma reta horizontal, y = 3 . Juntando as duas temos:

Os gráficos das funções trigonométricas tem um padrão e vão se repetindo ao longo do eixo x . Aqui a gente vai trabalhar com o intervalo ( - π , π ) , beleza?!

Esses pontos onde as curvas se interceptam são:

1 + sec ⁡ x = 3

sec ⁡ x = 2

sec - 1 ⁡ 3 = - π 3 e π 3  

Esses vão ser os nossos limites de integração!

Passo 2

Agora vamos a integração! Para um sólido que está entre x = a e x = b e possui área de seção transversal igual a A , seu volume V é dado por:

V = ∫ a b A x d x

A área de uma coroa circular é dada por:

A = π R 2 - r 2

Onde R é o raio maior e r é o raio menor, que são dados em relação a y = 1 . Vamos desenhar ela no gráfico pra ficar mais visível:

Assim, o raio maior é dado por:

R = 1 + sec ⁡ x - 1 = sec ⁡ x

E o raio menor é dado por:

r = 3 - 1 = 2

Passo 3

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral:

V = ∫ - π / 3 π / 3 π 2 2 - sec ⁡ x 2 d x

Vou trazer o gráfico pra pertinho de novo:

A área que a gente quer é essa verdinha. Perceba a simetria da figura! Com isso, a gente pode calcular a integral no intervalo 0 , π 3 e depois dobrar!!

Assim, resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 π 3 2 π 4 - sec 2 ⁡ x d x ∴

V = 2 π 4 x - tan ⁡ x 0 π 3 ∴

V = 2 π 4 π 3 - 3

Passo 4

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira:

Prontinho!

Resposta

V = 2 π 4 π 3 - 3

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6. y = ln ⁡ x,y = - 1 ,y = 2ex = 0
9. y = 1 x,x = 0,y = 1 4ey = 4
4. y = cos ⁡ x ,y = sen ⁡ x,x = 0ex = π 4
12. y 2 = 2 x , x = 0 ,y = 0ey = 2 ,a or e d o rd oe i x od o sy .
11. y = 2 x - 1 ,y = 0 ,x = 0 ,x = 4a or e d o rd oe i x od o sx .