Enunciado

Prove que a reta tangente à curva y = - x 4 + 2 x 2 + x no ponto ( 1 ,   2 ) é também tangente à curva em um outro ponto e determine esse ponto

Passo 1

Bom, o exercício nos dá uma curva e pede para provarmos que uma ÚNICA reta passa em dois pontos tangenciando a curva. Nós usaremos o ponto dado para obtermos a equação da reta. Como a reta é tangente, precisamos encontrar a derivada da curva:

d y d x = d d x - x 4 + 2 x 2 + x

Passo 2

Primeiro vamos separar a derivada, e então fazemos a operação termo a termo:

d y d x = d d x - x 4 + d d x 2 x 2 + d d x x

Então basta derivarmos diretamente cada um:

d y d x = - 4 x 3 + 4 x + 1

Passo 3

Agora podemos substituir as coordenadas do ponto que nos deram para calcular o valor da inclinação da reta:

y ' = - 4 . 1 3 + 4 . 1 + 1

y ' = 1

Passo 4

Usando a equação da reta:

y - y p = y ' ( x - x p )

Substituindo as coordenadas do ponto e a inclinação na equação:

y - 2 = 1 ( x - 1 )

y = x + 1

Passo 5

Bom, como o enunciado nos pede outro ponto que pertence à reta tangente, precisamos substituir a equação dela na nossa equação da curva, ficaremos com:

x + 1 = - x 4 + 2 x 2 + x

- x 4 + 2 x 2 - 1 = 0

x 4 - 2 x 2 + 1 = 0

Reescrevendo:

x + 1 2 x - 1 2 = 0

Com isso sabemos que os pontos x = - 1 e x = 1 são raízes duplas desse polinômio. Se colocarmos o segundo resultado na equação da nossa curva para encontrarmos nosso ponto, vamos achar ( 1 ,   2 ) , que é o ponto que já foi dado.

Então precisamos substituir x = - 1 :

y = - ( - 1 ) 4 + 2 ( - 1 ) 2 - 1

y = - 1 + 2 - 1 = 0

E então, o outro ponto que buscamos é ( - 1 ,   0 ) , provando que a reta é tangente a dois pontos da mesma curva.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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