Enunciado

Ache uma equação da reta normal à curva x - y = sqrt(x + y) no ponto ( 3 , 1 )

Passo 1

Bom, como o enunciado nos pede a reta normal, vamos precisar derivar a curva que foi dada. O problema é que não podemos separar x de um lado e o y do outro para fazermos a derivada explícita, então faremos implicitamente:

(d)/(d x) (x - y) = (d)/(d x) (sqrt(x + y))

Passo 2

O lado esquerdo da nossa equação podemos resolver diretamente:

(d)/(d x) (x - y) = 1 - y '

Já o lado esquerdo vai precisar da Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora:

(d)/(d t) (sqrt(t)) = (1)/(2 sqrt(t))

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dessa função, ficando assim:

(d)/(d x) (sqrt(x + y)) = (1)/(2 (sqrt(x + y))) (d)/(d x) ( x + y )

Calculando a derivada que apareceu diretamente, a gente encontra:

(d)/(d x) (sqrt(x + y)) = (1)/(2 (sqrt(x + y))) (1 + y^') = (1 + y ')/(2 (sqrt(x + y)))

Passo 3

Agora a gente substitui os resultados na nossa equação do Passo 1:

(d)/(d x) (x - y) = (d)/(d x) (sqrt(x + y))

1 - y ' = (1 + y ')/(2 (sqrt(x + y)))

E então substituímos o ponto (3 , 1) na nossa equação:

1 - y^' = (1 + y^')/(2 (sqrt(3 + 1))) = (1 + y^')/(4)

Separando y’:

4 (1 - y^') = 1 + y '

- 4 y^' - y^' = - 3

y^' = (3)/(5)

Passo 4

Como y’ corresponde à inclinação da reta tangente, precisamos fazer a seguinte operação para que ela passe a ser a inclinação da reta normal, que é o que é pedido no enunciado:

T = - (1)/(y ')

Onde T é a inclinação da reta normal. Substituindo y’:

T = - (1)/((3)/(5)) = - (5)/(3)

Passo 5

Agora basta substituirmos os valores do ponto e a inclinação na equação da reta:

y - y_p = T ( x - x_p )

Vai ficar:

y - 1 = - (5)/(3) ( x - 3 )

y = 6 - (5)/(3) x

Resposta

y = 6 - (5)/(3) x

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