Enunciado

Ache as equações das retas tangente e normal à curva 2 x 3 + 2 y 3 - 9 x y = 0 no ponto 2 ,   1 .

Passo 1

Bom, como a questão nos pede equações das retas tangente e normal, vamos precisar derivar a nossa curva para encontrarmos as inclinações das retas. Como não podemos separar x de y na equação, vamos derivar implicitamente:

d d x 2 x 3 + 2 y 3 - 9 x y = d d x 0

Passo 2

A derivada da direita é óbvia, vamos resolver o lado esquerdo então. Primeiro vamos separar cada termo em uma derivada:

d d x 2 x 3 + d d x 2 y 3 - d d x 9 x y

A primeira podemos resolver diretamente:

d d x 2 x 3 = 6 x 2

Na segunda vamos aplicar a Regra da Cadeia, pois y é função de x. Derivamos a função de fora

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

d d x 2 y 3 = 6 y 2 d d x y = 6 y ' y 2

E na terceira vamos aplicar a Regra do Produto:

d d x 9 x y = d d x 9 x y + 9 x d d x ( y )

Ficando o seguinte:

d d x 9 x y = 9 y + 9 x y '

Substituindo os três resultados, obtemos a derivada da equação:

d d x 2 x 3 + y 2 - 9 x y = d d x 0

6 x 2 + 6 y ' y 2 - 9 y - 9 x y ' = 0

Isolando y’, ficamos com:

y ' = 3 y - 2 x 2 2 y 2 - 3 x

Passo 3

Agora basta colocarmos os valores do ponto que foi dado na equação de y’ para obtermos a inclinação da reta tangente:

y ' = 3.1 - 2 . 2 2 2 . 1 2 - 3.2 = 5 4

E então podemos substituir todos os valores que temos na equação da reta:

y - y p = y ' ( x - x p )

Vai ficar:

y - 1 = 5 4 ( x - 2 )

y = 5 4 x - 3 2

Passo 4

Para calcularmos a inclinação da reta normal, precisamos rotacionar 90 graus a reta tangente, e para isso basta substituirmos y’ na equação:

T = - 1 y ' = - 4 5

Substituindo a inclinação T e as coordenadas do ponto na equação da reta normal:

y - 1 = - 4 5 ( x - 2 )

y = 13 - 4 x 5

Resposta

Reta tangente:   y = 5 4 x - 3 2

Reta normal:   y = 13 - 4 x 5

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Exercício de Livro
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