Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 13
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
consiste no hemisfério e o disco no plano .
Passo 1
Galera, o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss é o seguinte: se temos um região sólida e seja uma superfície que faz fronteira com , orientada positivamente (para fora) e é um mcapo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha ,
Seja . Então,
Vamos escrever de uma maneira mais fácil nosso campo vetorial. é o produto do módo de por . O módul ode é dado por:
Temos, então, que nosso campo vetorial é dado por . Vamos calcular o divergente dele!
Passo 2
Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência! A melhor coisa que podemos fazer aqui é passar para coordenadas esféricas, para facilitar a vida da gente. Assim,
Resposta
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