Enunciado

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = e - 1 x + 1

Passo 1

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde a função não está definida, o que neste caso é x = - 1 pois não existe divisão por zero.

Então:

lim x → - 1 ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 + ⁡ e - 1 x + 1 = 0 lim x → - 1 - ⁡ e - 1 x + 1 = ∞

As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e - 1 x + 1 =   1

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x + 1 =   1

Passo 2

Item b:

Se

f x = e - 1 x + 1

Então:

f ' x = e - 1 x + 1 x + 1 2

Para f crescente:

f ' x > 0

e - 1 x + 1 x + 1 2 > 0

Para todo x desde que x ≠ 1

Então f é crescente em todo o seu domínio.

Passo 3

Item c:

Se f é crescente em todo o seu domínio, então não possui máximo nem mínimo local.

Passo 4

Item d:

Se

f ' x = e - 1 x + 1 x + 1 2

Então:

f ' ' x = e - 1 x + 1 - 2 x - 1 x + 1 4

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

e - 1 x + 1 - 2 x - 1 x + 1 4 > 0

- 2 x - 1 > 0

x < - 1 2

Para f com concavidade para baixo:

f ' ' x < 0

e - 1 x + 1 - 2 x - 1 x + 1 4 < 0

- 2 x - 1 < 0

x > - 1 2

Assim, f possui concavidade para cima em valores de x no intervalo - ∞ , - 1 2 e concavidade para baixo em - 1 2 , ∞ . Então, o ponto de inflexão é em x = - 1 2 .

Passo 5

Item e:

Pelas informações obtidas temos o gráfico:

Resposta

(a)

lim x → - 1 ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 + ⁡ e - 1 x + 1 = 0 lim x → - 1 - ⁡ e - 1 x + 1 = ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e - 1 x + 1 =   1

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x + 1 =   1

(b) f é crescente em todo o seu domínio.

(c) f não possui máximo nem mínimo local.

(d) f possui concavidade para cima em valores de x no intervalo - ∞ , - 1 2 e concavidade para baixo em - 1 2 , ∞ . Então, o ponto de inflexão é em x = - 1 2 .

(e)

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