Enunciado

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

27. f x = e - x 2 2

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a)Aqui, pra determinarmos o ponto em que f começa a ser crescente, precisamos encontrar os pontos em que a derivada da função se anula (pontos de mínimo e de máximo).

A partir disso, visualizando o gáfico, determinamos os pontos iniciais dos intervalos em que a função cresce. Teremos:

f ' x = - x ∙ e - x 2 2 = 0

x = 0

Assim, nosso único ponto de derivada nula no gráfico, como podemos observar pelo mesmo, é em x = 0 . Nesse ponto, a função passa a decrescer até (+) infinito. Logo, o intervalo no qual a função é crescente será:

( - ∞ ,   0 )

Passo 3

(b) f é decrescente desde a partir de x = 0 , até (+) infinito. O intervalo será:

( 0 ,   + ∞ )

Passo 4

(c) f é côncava pra cima desde (-) infinito até o primeiro ponto de inflexão em x = - 1 . Volta a ter concavidade voltada pra cima no segundo ponto de inflexão em x = 1 , até (+) infinito. Logo, o intervalo é

- ∞ ,   - 1 ∪ ( 1 ,   + ∞ )

Passo 5

(d) f tem concavidade voltada pra baixo a partir do primeiro ponto de inflexão em x = - 1 , até o segundo ponto de inflexão em x = 1 . Logo, o intervalo será

( - 1 ,   1 )

Passo 6

(e)Os pontos de inflexão se calculam igualando a derivada segunda da função a zero. Teremos:

f ' ' x = x 2 ∙ e - x 2 2 - e - x 2 2 = 0

x 2 ∙ e - x 2 2 = e - x 2 2

x 2 = 1

x 1 = - 1

x 2 = 1

São esses os pontos em que a função muda de concavidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.j) f x = x 2 x - 1
Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.g) f x = 2 x
Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.i) f x = x e - x
Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.k) f x = x + 1 x
Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.h) f x = e - x