Enunciado

Use a regra da cadeia e a regra do produto para dar uma demonstração alternativa da regra do quociente.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.

A gente precisa demonstrar a regra do quociente utilizando a regra da cadeia e a regra do produto.

Devemos mostrar que

f g ' = f ' g - f   g ' g 2

Para isso vamos primeiro dar uma olhada na regra da cadeia:

Dada uma função composta f g x , então a derivada em relação a x :

d d x f g x = f ' g x ∙ g ' x

Agora vamos dar uma olhada também na regra do produto, utilizada quando temos um produto de função:

Dada o produto de função f x ∙ g ( x ) , a regra do produto é:

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Para isso, é sugerido que reescrevamos o quociente como um produto:

f ( x ) g ( x ) = f x ⋅ g x - 1

Daí, derivamos usando as regras do produto e da cadeia!!!

Passo 2

Vamos então primeiro colocar nossa derivada e iremos escrever o quociente como produto:

d f x g x d x = d f x ∙ g x - 1 d x

Utilizando a regra do produto, nós podemos escrever:

d f x g x d x = g x - 1 ∙ d f x d x + f x ∙ d g x - 1 d x

Reescrevendo:

d f x g x d x = g x - 1 ∙ f ' x + f x ∙ d g x - 1 d x

Agora iremos utilizar a regra da cadeia para escrever da seguinte forma o termo destacado:

d f x g x d x = g x - 1 ∙ f ' x + f x ∙ d g x - 1 d g x ∙ d g x d x

Podemos utilizar a regra da cadeia por temos a função g ( x ) dentro da função inversa (ele está elevado a - 1 ), sendo assim, uma composição de função.

Passo 3

Agora iremos utilizar a regra da potência para derivar a parte destacada do passo anterior:

d f x g x d x = g x - 1 ∙ f ' x + f x ∙ - g x - 2 ∙ g ' x

Reescrevendo agora os termos que estão elevados a potencias negativas:

d f x g x d x = f ' ( x ) g ( x ) - f x ∙ g ' ( x ) g x 2

Realizando o m m c :

d f x g x d x = f ' x ∙ g ( x ) g x 2 - f x ∙ g ' ( x ) g x 2

Provando agora:

d f x g x d x = f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' ( x ) g x 2

Conseguimos então provar a regra do quociente de outra forma.

Resposta

Demonstração.

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