Enunciado

44- Deduza a equação do volume de uma esfera de raio r usando o método da casca.

Passo 1

A seção transversal de uma esfera é um semicircunferência tal como a que está descrita na figura abaixo:

Onde se rotacionarmos em y , temos nossa esfera de raio r .

Além de termos duas circunferências com equações iguais a:

c i r c u n f - v e r m e l h a = r 2 - x 2

c i r c u n f - v e r d e = - r 2 - x 2

Passo 2

Aplicando o raciocínio da integral de volume por cascas cilíndricas temos:

V = ∫ 2 π ( r a i o ) ( a l t u r a ) d ( e s p e s s u r a )

Traçando um cilindro na nossa esfera formada temos um raio de giro igual ao eixo x (uma vez que vamos girar nossa figura em torno do eixo y , a altura igual a diferença das duas funções e a espessura sendo o d x . Logo:

V = ∫ 0 r 2 π x [ r 2 - x 2 - - r 2 - x 2 d x

O que dá:

V = 2 π ∫ 0 r x [ 2 r 2 - x 2 ]   d x

V = 4 π ∫ 0 r x r 2 - x 2 d x

Passo 3

Aplicando a substituição:

u = r 2 - x 2

Temos:

d u = - 2 x d x

E os intervalos de integração se transformam para:

Para x = 0 :

u = r 2 - 0 2 = r 2

Para x = r :

u = r 2 - r 2 = 0

O que transforma nossa integral para:

V = - 2 π ∫ r 2 0 u   d u

Integrando:

V = - 2 π 2 3 u 3 2 r 2 0 = 0 - ( - 2 π 2 3 r 3 = 4 3 π r 3

Resposta

V = 4 3 π r 3

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A região limitada pelas curvas dadas é girada ao redor dos eixos especificados. Ache o volume do solido resultante por qualquer método. x 2 + y - 1 2 = 1 ; ao redor do eixo x