Enunciado

Use a Regra do Ponto Médio com n = 4 para estimar o volume obtido pela rotação ao redor do eixo y da região sob a curva y = t g x , 0 ≤ x ≤ π / 4

Passo 1

Inicialmente, vamos calcular a largura dos retângulos. Como ele nos disse que n = 4 vamos dividir nossa intervalo em 4 . Vem comigo!

0 ≤ x ≤ π 4

Dividindo em 4 :

Δ x = π 4 - 0 4 → Δ x = π 16

Então teremos os seguintes intervalos:

0 , π 16 ,   π 16 , π 8 ,   π 8 , 3 π 16 ,   3 π 16 , π 4

Cujos pontos médios são respectivamente:

π 32 , 3 π 32 , 5 π 32 , 7 π 32

Passo 2

Agora vamos lembrar como é a formula que usamos para achar o volume:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Assim,

V = 2 π ∫ 0 π / 4 x t g ( x ) d x

Usando a Regra do Ponto Médio:

V = 2 π π 32 t g π 32 + 3 π 32 t g 3 π 32 + 5 π 32 t g 5 π 32 + 7 π 32 t g 7 π 32 ⋅ π 16 ⏝ Δ x

Fazendo as contas:

V = 1,142

Resposta

V = 1,142

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