Enunciado

44. Uma firma determina que x unidades de seu produto podem ser vendidas diariamente a p dólares a unidade, onde:

x = 1000 - p

O custo de produção de x unidades diárias é:

C x = 3000 + 20 x

a) Encontre a função receita R x .

b) Encontre a função lucro P x .

c) Supondo que a capacidade máxima de produção é de 500 unidades por dia, determine quantas unidades a companhia deve produzir e vender por dia para maximizar seu lucro.

d) Encontre o lucro máximo.

e) Qual é o preço unitário a ser cobrado para obter o lucro máximo?

Passo 1

a) Então pessoal, encontrar a função receita não é tããão difícil assim não, tá? A expressão para a receita R x é a seguinte:

R x = p x

E o próprio enunciado nos cede p , se liga:

x = 1000 - p

p = 1000 - x

Substituindo na expressão, temos que a função receita será:

R x = 1000 - x x

∴ R x = 1000 x - x 2

Passo 2

b) O lucro P x da firma é dado pela seguinte equação:

P x = R x - C x

Ou melhor:

L u c r o = R e c e i t a - C u s t o

Como temos a receita e o custo, então:

P x = 1000 x - x 2 - 3000 + 20 x

P x = 1000 x - x 2 - 3000 - 20 x

∴ P x = 980 x - x 2 - 3000

E essa é a nossa expressão do lucro, galera!

Passo 3

c) Para determinarmos o lucro máximo da firma devemos utilizar os conceitos do cálculo que aprendemos, ok? Derivando nossa função lucro e igualando a zero, teremos:

P ' x = 980 - 2 x = 0

Aqui vale ressaltar que como a produção diária máxima é de 500 unidades, então x está entre 0 e 500 , ok? Continuando:

980 = 2 x

x = 490

Sendo assim, a companhia deve produzir e vender por dia 490 unidades para maximizar seu lucro!

Passo 4

d) Como já encontramos o valor de x que maximiza o lucro da firma, basta substituirmos esse valor encontrado na expressão do lucro, saca só:

P x = 980 x - x 2 - 3000

Para x = 490 :

P 490 = 980.490 - 490 2 - 3000

∴ P 490 = 237100

E esse é o lucro máximo!

Passo 5

e) Então galera, de acordo com o enunciado temos que x unidades do produto da firma podem ser vendidas diariamente a p dólares a unidade, onde:

x = 1000 - p

Assim como calculamos, para a firma obter o lucro máximo 490 unidades devem ser produzidas diariamente, então:

p = 1000 - x

p = 1000 - 490

∴ p = 510

E esse seria o preço unitário a ser cobrado!

Resposta

a) R x = 1000 x - x 2

b) P x = 980 x - x 2 - 3000

c) x = 490

d) P 490 = 237100

e) p = 510

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