Enunciado

43. a) Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel a $ 100 por unidade. Se o custo de produção total diário em dólares para x unidades for:

C x = 100000 + 50 x + 0,0025 x 2

E se a capacidade de produção diária for de, no máximo, 7000 unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro?

b) Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária?

c) Usando análise marginal, aproxime o efeito sobre o lucro causado por um aumento de 7000 para 7001 unidades na produção diária.

Passo 1

a) Então galera, o que queremos achar aqui é uma expressão para o lucroda indústria química, e como já estudamos, temos que o lucro é determinado pela seguinte expressão:

P x = R x - C x

Ou melhor:

L u c r o = R e c e i t a - C u s t o

O custo já nos foi dado, mas a receita não. No entanto, encontrar a receita é bem tranquilo, galera. Temos que a expressão da receita é:

R x = p x

Como a questão já nos fornece p , então:

R x = 100 x

Passo 2

Agora que temos as expressões da receita e do custo do produto, temos que o lucro será:

P x = 100 x - 100000 - 50 x - 0,0025 x 2

P x = 50 x - 100000 - 0,0025 x 2

0 ≤ x ≤ 7000

Beleza, encontramos a expressão que queríamos! No entanto, o enunciado quer a maximização do lucro, e isso só acontece quando:

P ' x = 50 - 0,005 x = 0

Disso tiramos que:

x = 10000

Opa, esse resultado é um problema porque passa do limite de produção diário! Sendo assim, temos que o lucro máximo estará nos extremos do nosso intervalo! Para x = 0 temos:

P 0 = - 100000

Para x = 7000 temos:

P 7000 = 127500

Sendo assim, 7000 unidades devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro da indústria!

Passo 3

b) Como vimos no passo anterior, para maximizar o lucro o dono da indústria deveria produzir diariamente 10000 unidades de ácido sulfúrico, sendo assim, sem dúvida alguma seria vantajoso para o industrial expandir a capacidade de produção diária!

Passo 4

c) Então galera, para fazermos a análise marginal devemos utilizar a seguinte relação, conforme estudado na seção em questão, saca só:

P x + 1 - P ( x ) ≈ P ' x

Como x = 7000 , então temos o seguinte:

P 7001 - P 7000 ≈ P ' 7000

Do passo 2 temos que P ' 7000 = 15 , logo:

P 7001 - P ( 7000 ) ≈ 15

Sendo assim, podemos concluir que o lucro seria de $ 15 ao aumentar em 1 unidade a produção diária!

Resposta

a) x = 7000 unidades.

b) Seria sim vantajoso par ao industrial aumentar a capacidade de produção diária.

c) O lucro seira de $ 15 .

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