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45. b) Ache

  lim h → 0 ⁡ t g π 4 + h - t g π 4 h ,

Interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

Primeiro vamos lembrar da definição de derivada:

f ' x = l i m x → 0 f x + h - f x h  

Comparando com a expressão que temos do enunciado a função f x = t g x e o x = π 4 . Assim temos a seguinte igualdade:

f ' π 4 =   lim h → 0 ⁡ t g π 4 + h - t g π 4 h

Então para achar o limite, basta calcular a derivada de f x = t g x , em x = π 4 .

Passo 2

Derivando:

f x = t g x

f ' x = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos calcular f’(x) para x = π 4 :

f ' x = sec 2 ⁡ x

f ' π 4 = sec 2 ⁡ π 4

                          = 1 cos 2 ⁡ π 4

                            = 1 2 2 2 = 2 2 2 = 4 2 = 2

Resposta

lim h → 0 ⁡ t g π 4 + h - t g π 4 h = 2

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