Enunciado

Use um sistema de computação algébrica para achar o volume exato do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.

y = x ,     y = x e 1 - x 2 ,               e m   t o r n o   d e   y = 3

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos lembrar como se calcula o volume de um sólido de rotação:

V = ∫ a b A x . d x

Vamos desenhar a figura do sólido, ok?

Primeiro vamos calcular a área da secção transversal. Mas como?

Esta área será a área da reta y = 3 até a função y = x menos a reta y = 3 até a função y = x e 1 - x 2 .

E não vamos esquecer do π ! Então:

A = π 3 - x 2 - 3 - x e 1 - x 2 2

Reorganizando:

A = π x 2 1 - e 1 - x 2 2 - 6 x 1 - e 1 - x 2

Passo 2

Antes de jogarmos no volume precisamos dos limites de integração, os ponto onde as funções se encontram:

x = x e 1 - x 2

x e 1 - x 2 - 1 = 0

Então:

x ' = 0

e 1 - x 2 - 1 = 0 →   e 1 - x 2 = 1

Vamos aplicar ln em ambos os lados:

ln ⁡ e 1 - x 2 = ln ⁡ 1 → 1 - x 2 = 0

x ' ' = 2

Já sabemos nosso intervalo de integração, já que o x vai de 0 → 2 :

V = ∫ 0 2 π x 2 1 - e 1 - x 2 2 - 6 x 1 - e 1 - x 2 . d x = π ∫ 0 2 x 2 1 - e 1 - x 2 2 - 6 x 1 - e 1 - x 2 . d x

Já descobrimos o volume, agora é só aplicar em um sistema de computação algébrica:

V = π - 2 e 2 + 24 e - 142 3

Resposta

V = π - 2 e 2 + 24 e - 142 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a região R tenha área A e esteja acima do eixo x . Quando R é girada em torno de eixo x , ela gera um sólido com volume V 1 . Quando R é girada em torno da reta y = - k (onde k é um número
Alguns dos pioneiros do cálculo, como Kepler e Newton, foram inspirados pelo problema de encontrar os volumes de barris de vinho. (De fato, Kepler publicou um livro em 1615, Stereometria doliorum, ded
A região sob a curva y = t g 2 x de 0 a π / 4 é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante.