Enunciado

39. Em que ponto da curva x +   x y + y = 1 a reta tangente é paralela ao eixo x ?

Passo 1

A reta tangente à cuva será paralela ao eixo x , quando o coeficiente angular da reta tangente à curva for igual ao coeficiente angular da reta que representa o eixo x.

Sendo assim, devemos determinar qual é o coeficiente angular da reta tangente à curva dada e depois descobrir o ponto em questão.

Para isso, devemos saber que a equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.

Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a )  é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim:

1 d x d x + 1 2 x y d x d x 1 d x d x y + x 1 d y d x + 1 d y d x = 0

d y d x x 2 x y + 1 = - 1 - y 2 x y

d y d x = - ( 1 + y 2 x y ) ( x 2 x y + 1 ) = - ( 2 x y + y ) x + 2 x y  

a = f ´ x = d y d x = - ( 2 x y + y ) x + 2 x y  

Passo 3

Para descobrirmos o ponto em que ela será paralela ao eixo y, basta igualar o valor de a encontrado com o coeficiente angular da reta que representa o eixo x (y = 0). Assim, temos:

a = - 2 x y + y x + 2 x y = 0   s e   e   s o m e n t e   s e  

- 2 x y + y = 0  

2 x . y + y = 0

y 2 x + y = 0   s e   e   s o m e n t e   s e  

2 x + y = 0

2 x 2 = - y 2

4 x = y

Sendo assim, a reta tangente à curva será paralela ao eixo x em todos os pontos que apresentam a seguinte forma   (   x ,   4 x )   , para todo x.

Resposta

(   x ,   4 x )

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