Enunciado

46. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

y = 2 e x e x - 5

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos a seguinte curva:

y = 2 e x e x - 5

E o enunciado pede pra a gente encontrar as suas as assíntotas horizontais e verticais e depois confirmar que o cálculo está certo esboçando o gráfico da função!

Para acharmos as assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para x tendendo a e - ∞ Já as assíntotas verticais geralmente estão relacionados a um ponto onde a nossa função não esta definida.

Bora colocar a mão na massa então!

Passo 2

Começando pelas assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para e - ∞ .

l i m x → ∞ = 2 e x e x - 5

Concorda comigo que quando x → ∞ temos:

e x ≫ 5

Então vamos reescrever o nosso limite assim:

l i m x → ∞ 2 e x e x = l i m x → ∞ 2

Com isso:

l i m x → ∞ 2 = 2

Agora temos, tendendo pra - ∞ :

l i m x → - ∞ = 2 e x e x - 5 = 2 e - ∞ e - ∞ - 5 = 0 5 = 0

Assim, vemos que y = 2 e y = 0   são assíntotas horizontais da nossa curva

Passo 3

Lá em cima falamos que assíntotas verticais estão relacionados a um ponto onde a nossa função não está definida, vamos observar a nossa função:

y = 2 e x e x - 5

O y → ∞ quando o denominador é zero, isto é:

e x = 5

Assim,

x = l n ⁡ ( 5 )

Portanto, x = l n ⁡ ( 5 ) é uma assíntota vertical

Passo 4

Fazendo um gráfico, temos:

Pelo gráfico, podemos confirmar que as assíntotas são realmente aquelas.

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 0

y = 2

Assíntota vertical:

x = l n ⁡ ( 5 )

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