Enunciado

38. Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ ln ⁡ x

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ ln ⁡ x

Ou então, provar que ele não existe! Pra a gente calcular esse limite a gente vai fazer uma substituição de variável. Assim nossa função vai ficar menos feia! Considere o seguinte:

t = ln ⁡ x

Quando x → 0 , pela direita o ln ⁡ x tende a infinito negativo, então teremos:

lim t → - ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ ( t )

Agora bora calcular esse limite!

Passo 2

Temos então que:

lim t → - ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ ( t )

Calculando:

lim t → - ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ ( t ) = tan - 1 ⁡ - ∞

Podemos dizer que:

tan - 1 ⁡ - ∞ = - tan - 1 ⁡ ∞

Aqui a gente tem uma função trigonométrica inversa, ou seja temos que pensar em um ângulo L em que sua tangente é infinito! Teremos que:

tan ⁡ L = sin ⁡ L cos ⁡ L = ∞

Pra a tangente de L tender ao infinito cos ⁡ L tem que tender a zero. O ângulo que tem cosseno igual a zero é 90 ° , mas também é igual a 270 ° , 450 ° e por ai vai, podemos escrever uma expressão geral pros ângulos:

L = π 2 + n π

Onde n é um número inteiro. Só que tem aquele sinalzinho negativo na frente, não podemos esquecer! Então temos que:

lim x → 0 + ⁡ t g - 1 ln ⁡ x = - π 2 + n π

Aweee!!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ t g - 1 ln ⁡ x = - π 2 + n π

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