Enunciado

51. Num circuito elétrico, suponha que a força eletromotriz seja E volts em t se que E = 2 s e n 3 t . Ache o valor médio de E de t = 0 a t = π 3

Passo 1

Vamos aplicar o teorema do valor médio, fazer as continhas nesse intervalo e aí matamos a questão, ok?

Passo 2

Lembra do teorema do valor médio, ele diz o seguinte:

Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], existe um número x nesse intervalo tal que:

∫ a b f ( x ) = f ( x ) ( b - a )

Agora, nós temos f ( x ) , que é o E , e ( b - a ) . Ao isolarmos o f ( x ) fica assim

f x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ( x )

Assim vamos calcular o valor médio de f ( x ) , no caso será f t

Passo 3

Calcular a integral de f t , a e b nós já temos, ou seja...

f t = 1 ( π 3 - 0 ) ∫ 0 π 3 2 s e n 3 t   d t

Malandramente vamos chamar u = 3 t para fazer uma substituição

d u = 3 d t

3 . 2 π ∫ s e n u   d u 3

Resolver essa integral agora é mais tranquilo, integral de s e n é ( - c o s )

2 π - c o s ⁡ ( u )

Voltando para t:

f t = 2 π - c o s ⁡ ( 3 t ) 0 π 3

E = f t = 2 π - c o s ⁡ ( 3 π 3 ) - ( - cos ⁡ 0 ) = 2 π 1 + 1 = 4 π   V o l t s

Pronto

Resposta

E = f t = 4 π   V o l t s

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