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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 6.6 - Ex. 23

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Se o tanque do exercício 22 estiver cheio até uma altura de 8 m, com óleo pesando 950 kg/m³, ache o trabalho para que o óleo seja bombeado até a borda.

Passo 1

Temos no exercício 22 um tanque em forma de cone circular reto invertido de 8 m de diâmetro e com altura de 10m. Sabemos que o trabalho W realizado para levantar uma massa de óleo em uma altura h é dado por W = m g h , sendo m a massa do óleo e g o valor da aceleração da gravidade. Devemos então integrar a expressão d W = g h   d m , com d m sendo a massa de um disco de óleo de altura infinitesimal d z , para obter o trabalho total que deve ser feito para erguer todo o óleo.

Passo 2

Vamos colocar o eixo vertical z orientado pra cima com origem no fundo do tanque. Devemos achar primeiro a expressão da massa d m de cada disco de óleo em função de z . Podemos ver na figura abaixo que um disco que está a uma altura z m do fundo do tanque terá uma altura infinitesimal d z e um raio r que pode ser achado por semelhança de triângulos.

4 10 = r z ⇒ r = 4 z 10 = 2 z 5

O volume então do disco será d V = A d z = π 2 z 5 2 = 4 25 π z 2 d z . Sendo ρ = 950   k g / m 3 a densidade do óleo, temos então d m = ρ d V = 950 ⋅ 4 25 π z 2 d z = 152 π z 2 d z . Além disso, se o elemento está a uma altura z do fundo, será levantado uma altura de h = 10 - z . O trabalho infinitesimal realizado é então:

d W = g h   d m = g 10 - z ⋅   152 π z 2 d z = 152 π g   10 z 2 - z 3 d z

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W , de 0 à altura da superfície do óleo, 8m.

W = ∫ 0 8 152 π g 10 z 2 - z 3 d z = 152 π g 10 z 3 3 - z 4 4 0 8 =

= 152 π g 10 ⋅ 8 3 3 - 8 4 4 - 10 ⋅ 0 3 3 - 0 4 4 = 152 π g ⋅ 5120 3 - 4096 4 ≈ 103765 π g

Se g = 9,81 m/s², temos W = 3197946   J

Resposta

3.197.946   J

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