Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 10.4 - Ex. 53

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51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.

53. r = s e n ( 6 . s e n   θ )

Passo 1

Para determinarmos o comprimento da curva polar com equação r = f ( θ ) , como é o nosso caso, precisamos determinar o resultado da seguinte integral, pessoal:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2 d θ

No qual L é o comprimento que estamos procurando e o intervalo [ a , b ] é o intervalo de parâmetro. Como o enunciado nos permite utilizar do gráfico para determinar esse intervalo, então é o que faremos! Plotando o gráfico dessa curva polar, teremos:

Simplificando o máximo possível o raciocínio, podemos dizer que o intervalo do parâmetro é o mínimo intervalo para que o gráfico da curva polar fique completo! Nesse caso, o intervalo será [ 0 , π ] , se diminuirmos o intervalo a figura não ficará completa e se aumentarmos o intervalo não fará diferença no gráfico.

Passo 2

Por fim, o que falta é determinarmos d r d θ , não é mesmo? Então bora derivar essa função aí! Se liga:

r = s e n ( 6 . s e n   θ )

Utilizando a regra da cadeia, teremos:

d r d θ = cos ⁡ 6 . s e n   θ . 6 cos ⁡ θ

Substituindo na integral:

L = ∫ 0 π s e n 6 . s e n   θ 2 + cos ⁡ 6 . s e n   θ . 6 cos ⁡ θ 2 d θ

Utilizando uma calculadora para determinar o resultado da integral, obteremos:

L ≈ 8,0091   ( u . c )

Resposta

L ≈ 8,0091   ( u . c )

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