Enunciado

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

c) r → t = t   i → + s e n t j → + 1 + cos ⁡ ( t ) k →   ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos pede para calcular o comprimento de r → t   entre os pontos 0 e 3 .Incialmente, vamos encontrar r ' → t .

r → t = t   i → + s e n t j → + 1 + cos ⁡ ( t ) k →

Repare que podemos escrever isso da seguinte forma:

r → t = t ,   s e n t ,   1 + cos ⁡ t

Derivando,

r ' → t = 1 , cos ⁡ t ,   - s e n t

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 1 2 + cos ⁡ t 2 + - s e n t 2

Arrumando as coisas dentro da raiz:

r ' → t = 1 + cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Opa, mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Portanto,

r ' → t = 2

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b 2 d t

Como estamos pegando entre os pontos 0 e 2 π   :

l = ∫ 0 2 π 2   d t

Tirando o 2 da integral:

l = 2 ∫ 0 2 π d t

Integrando:

l = 2 t 0 2 π

Aplicando entre esses pontos:

l = 2 × 2 π - 0

Portanto,

l = 2 π 2

Resposta

l = 2 π 2

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