Enunciado

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

f) hélice circular r → t = 2 cos ⁡ t ,   4 t ,   2 s e n ( t ) de P 0 2,0 , 0 a P 1 0 ,   2 π , 2

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos pede para calcular o comprimento de r → t   entre os pontos 0 e 3 .Incialmente, vamos encontrar r ' → t .

r → t = 2 cos ⁡ t ,   4 t ,   2 s e n ( t )

Derivando,

r ' → t = 2 - s e n t ,   4,2 cos ⁡ t

Assim,

r ' → t = - 2 s e n t ,   4 ,   2 cos ⁡ t

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 2 s e n t 2 + 4 2 + 2 cos ⁡ t 2

Arrumando as coisas dentro da raiz:

r ' → t = 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t + 16

Opa, mas essa expressão é conhecida, se liga só:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Logo,

r ' → t = 4 + 16

Isto é,

r ' → t = 20

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b 20   d t

O enunciado nos diz para integrarmos de P 0 2,0 , 0 a P 1 0 ,   2 π , 2 . Mas o que é isso em termos de t ? Se liga só:

r → t = 2 cos ⁡ t ,   4 t ,   2 s e n ( t )

Olhando para o termo em y quando pegamos o ponto P 0 2,0 , 0 :

4 t 0 = 0 → t 0 = 0

E para o ponto P 1 0 ,   2 π , 2 :

4 t 1 = 2 π   0 → t 1 = π 2

Passo 5

Então nossa integral fica o seguinte:

l = ∫ 0 π 2 20   d t

Tirando o 20 da integral e integrando:

l = 20 × t 0 π 2

Aplicando entre esses pontos:

l = 2 5 × π 2 - 0

Portanto,

l = π 5

Resposta

l = π 5

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