Enunciado

Expresse o número como uma razão de inteiros.

54.

10,1 35 - = 10,1353535 …

Passo 1

Tudo beleza, galera?

A questão tá pedindo pra gente expressar esse valor dado como uma razão entre números inteiros.

Primeiro relembrar que qualquer número decimal racional que possui representação decimal como uma dízima infinita, assim como é o nosso caso, pode ser escrito como uma série geométrica.

A série geométrica pode ser definida dessa forma:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + a r 3 + …

Sendo r   a razão geométrica.

Então pra gente representar essa dízima em série geométrica, vamos desmanchá-la.

10,1353535 …

10,1 + 0,035 + 0,00035 + 0,0000035 + …

Representando do segundo termo em diante como razões:

10,1353535 … = 10,1 + 35 10 3 + 35 10 5 + 35 10 7 + …

Passo 2

Qual a parte que nos parece geométrica?

35 10 3 ⏟ a + 35 10 5 ⏟ a r + 35 10 7 ⏟ a r 2 + …

E qual a razão? Tá vendo que os denominadores estão aumentando em duas casas?

Logo, a razão é r = 1 10 2 , e vou fazer a prova real com você:

a r = 35 10 3 ⏟ a × 1 10 2 ⏟ r

No denominador, a multiplicação de potências de bases iguais, a gente repete a base 10 e soma os expoentes:

a r = 35 10 3 + 2

a r = 35 10 5

Passo 3

Sabendo que para resolver uma série geométrica devemos fazer:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Então, vamos somar o 10,1 mais a parte da série geométrica:

10,1 + 35 10 3 + 35 10 5 + 35 10 7 + …

10,1 + a 1 - r

10,1 + 35 10 3 1 - 1 10 2  

Se a gente multiplicar o numerador e o denominador por 10 3 ,conseguimos simplificar muita coisa:

10,1 + 35 10 3 × 10 3 1 1 - 1 10 2 × 10 3 1

Eliminamos as potências iguais do numerador:

10,1 + 35 × 10 3 10 3 1 0 3 - 1 0 3 10 2

No denominador, temos uma divisão de potências de mesma base, então repetimos o 10 e subtraímos os expoentes:

10,1 + 35 10 3 - 10 1

10,1 + 35 1000 - 10

10,1 1 + 35 990

Fazendo o M.M.C. entre os denominadores:

9999 + 35 990 = 10034 990

Simplificando a fração inteira por ( ÷ 2 ) :

5017 495

Resposta

10,1 35 - = 10,1353535 … = 5017 495

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