Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 63
57-63. Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
63.
Passo 1
Então galera, se reescrevermos essa série de outra maneira, teremos o seguinte:
Esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:
No nosso caso temos que e , uma vez que é o primeiro termo da sequência e é a relação comum.
Passo 2
Se , a série é divergente. Caso contrário, se , então a série é convergente e sua soma é:
Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de ! Como queremos os valores de para os quais a série converge, então teremos:
Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:
No entanto, para quaisquer valores de , sejam estes positivos ou negativos, nunca resultará em um valor negativo! Sendo assim, uma alteração totalmente válida nesse intervalo para mantê-lo real é:
E esse intervalo representa os valores de para os quais a série é convergente!
Também podemos aplicar o logaritmo natural e descobriremos que:
Por fim, a soma será:
Resposta
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