Enunciado

52. Uma partícula move-se ao longo de uma reta como o deslocamento s t , velocidade v t e aceleração a(t). Mostre que

a t = v t d v d s

Explique a diferença entre os significados das derivadas dv/dt e dv/ds.

Passo 1

Falaiii pessoal, tudo bem?Bora para mais uma?

Para mostrar que a t = v t d v d s

Primeiro vamos usar a regra da cadeia para escrever a ( t ) em termos de v t e   s t :

a t = d v d t = d v d s ⋅ d s d t = v t d v d s  

Aqui, d v d s representa a taxa de mudança da velocidade com relação ao deslocamento s , que é a variável independente quando tratamos do movimento ao longo de uma linha reta.

Agora, vamos explicar a diferença entre d v d t   e d v d s :

Passo 2

Bom,

- d v d t   é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Essa medida nos dá a taxa de mudança instantânea da velocidade com o tempo.

É uma medida comum quando estamos interessados em entender como a velocidade de um objeto muda ao longo do tempo.

- d v d s é a derivada da velocidade em relação ao deslocamento.

Isso nos dá a taxa de mudança instantânea da velocidade com o deslocamento.

Quando lidamos com movimento ao longo de uma linha reta, o deslocamento s   é a variável independente mais natural, então essa derivada nos diz como a velocidade está mudando conforme o objeto se move ao longo da reta.

Em resumo, enquanto d v d t mede a mudança da velocidade com o tempo, d v d s mede a mudança da velocidade com o deslocamento.

Ambas são úteis em diferentes contextos de análise do movimento.

Resposta

Vide a explicação.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

58. Encontre os valores de λ para os quais y = e λ x satisfaz a equação y + y ' = y ' ' .
54. Encontre um polinômio de terceiro grau Q tal que Q(1)=1, Q’(1)=3, Q’’(1)=6 e Q’’’(1)=12.
57. Para que os valores de r a função y = e r x satisfaz a equação y ' ' + 5 y ' - 6 y = 0 ?
Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.39. D 103 co s ⁡ 2 x
Encontre a fórmula para f^((n)) (x) .33. f (x) = x^n