Enunciado

5-20 Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.

12. H s = a s + b s

Passo 1

Vamos aplicar a derivada, lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas:.

H ' s = d d s a s + b s

H ' s = d d s a s + d d s b s

As letras a e b são cosntantes, então:

H ' s = a d d s s + b d d s 1 s

Podemos reescever as derivadas para ficar mais fácil de calcular:

H ' s = a d d s s 1 / 2 + b d d s s - 1 / 2

H ' s = a 1 2 s 1 2 - 1 + b - 1 2 s - 1 2 - 1

H ' s = a 1 2 s - 1 / 2 + b - 1 2 s - 3 / 2

H ' s = a 2 s - 1 / 2 - b 2 s - 3 / 2

Essa é a primeira derivada

Passo 2

E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:

H ' ' s = d d s a 2 s - 1 / 2 - b 2 s - 3 / 2

H ' ' s = d d s a 2 s - 1 / 2 - d d s b 2 s - 3 / 2

Tirando as constantes para fora das derivadas:

H ' ' s = a 2 ⋅ d d s s - 1 / 2 - b 2 ⋅ d d s s - 3 / 2

As duas derivadas são derivadas de polinômios:

H ' ' s = a 2 ⋅ - 1 2 s - 1 / 2 - 1 - b 2 ⋅ - 3 2 s - 3 / 2 - 1

H ' ' s = - a 4 s - 3 / 2 + 3 b 4 s - 5 / 2

Resposta

H ' s = a 2 s - 1 / 2 - b 2 s - 3 / 2

H ' ' s = - a 4 s - 3 / 2 + 3 b 4 s - 5 / 2

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