Enunciado

Encontre a fórmula para f^((n)) (x) .

36. f (x) = sqrt(x)

Passo 1

Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo:

f^' (x) = (1)/(2) * x^(- 1 // 2)

Se a gente derivar mais uma vez:

f^(' ') (x) = ((1)/(2)) * (- (1)/(2)) * x^(- 3 // 2)

E denovo:

f^(' ' ') (x) = ((1)/(2)) * (- (1)/(2)) * (- (3)/(2)) * x^(- 5 // 2)

E denovo, denovo

f^((4)) (x) = ((1)/(2)) * (- (1)/(2)) * (- (3)/(2)) * (- (5)/(2)) * x^(- 7 // 2)

Esse já deu pra perceber né? Cada vez que deriva, um 2 é multiplicado no denominador, um numero impar maior que o anterior é multiplicado no numerador, além do sinal que se altera a cada derivada, então a derivada n-ésima é igual a:

f^((n)) (x) = ((- 1)^(n - 1) (1) (3) (5) * * * (2 n - 3))/(2^n) * x^(- ( 2 n - 1 ) // 2)

Resposta

f^((n)) (x) = ((- 1)^(n - 1) (1) (3) (5) * * * (2 n - 3))/(2^n) * x^(- ( 2 n - 1 ) // 2)

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