Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 65
65. Determine as expressões para as cinco primeiras derivadas de . Você vê alguma regra nessas expressões?
Proponha uma fórmula para e prove-a usando a indução matemática
Passo 1
Vamos derivar as cinco vezes então.
1ª derivada:
Utilizando a regra do produto:
2ª derivada:
Derivada da soma é a soma das derivadas:
A segunda derivada dessa expressão já foi calculada:
Usando a regra do produto para derivar:
3ª derivada:
Tirando as constantes para fora da derivada:
A derivada de é o próprio e as outras duas derivadas já foram calculadas anteriormente:
4ª derivada:
Usando os valores que já temos:
E por último, 5ª derivada:
Juntando os termos semelhantes:
Podemos perceber a seguinte semelhança entre eles:
O coeficiente do é sempre 1, do é sempre duas vezes o numero da derivada e o ultimo termo é sempre o grau da derivada vezes um numero menor, observe:
Então a expressão para , vai ficar:
Passo 2
Agora vamo provar pela indução matemática:
Se
Então
Vamos derivar para ver se obtemos a mesma expressão de :
Regra do produto:
Juntando os termos:
Prontinho, chegamos na mesma expressão, então a expressão
está correta.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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