Enunciado

53-

Use a regra da derivada do Teorema 3 da Seção 3.8 para deduzir

d d x sec - 1 ⁡ x = 1 x x 2 - 1 ,         x > 1

Passo 1

O teorema 3 basicamente nos diz que se temos um função f ( x ) e sua derivada é x ,logo a sua função inversa que é f - 1 ( x ) terá derivada 1 x

Como queremos a derivada de sec - 1 ⁡ x , logo para aplicar o teorema vamos fazer a derivada em relação a x de sec ⁡ x

Passo 2

Fazendo a derivada da secante nós temos:

d d x ( sec ⁡ x ) = d d x 1 cos ⁡ x = 1 ' ( cos ⁡ x ) - 1 ( cos ⁡ x ) ' cos 2 ⁡ x = sin ⁡ x cos 2 ⁡ x = t g   x × sec ⁡ x

Substituindo na equação diferencial e dividindo no outro lado, nós temos:

d ( sec - 1 ⁡ x ) d x = t g x × sec ⁡ x

Passo 3

Como temos o valor da sec ⁡ y e não da t g   y , precisamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para substituir o valor da t g   y na equação :

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ y a equação de cima nós teremos:

t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x

Isolando t g   y nós teremos:

t g   x = ± sec 2 ⁡ x - 1

Substituindo na derivada da secante

d ( sec - 1 ⁡ x ) d x = sec ⁡ x ×   ± sec 2 ⁡ x - 1

Tirando a ambiguidade:

d ( sec ⁡ x ) d x = | sec ⁡ x | ×   sec 2 ⁡ x - 1

Como queremos a derivada da inversa da secante e não da secante então nós temos:

d ( sec - 1 ⁡ x ) d x = 1 | sec ⁡ y | × sec 2 ⁡ y - 1

Onde temos que aplicar a função inversa no lugar de x.

Como:

sec ⁡ y = x

Para não termos esse ambiguidade nós colocamos o módulo na parcela do denominador que pode representar a mudança de sinal:

d y d x = 1 | x | x 2 - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:a) tan - 1 ⁡ 3
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Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:) tan - 1 ⁡ ( 1 )
Determine a derivada de y em relação a variável apropriada: y = cos - 1 ⁡ x 2
Determine o limite: lim x → - ∞ ⁡ sec - 1 ⁡ x