Enunciado

  1. Identifique os extremos locais de cada função nos intervalos dados e informe onde eles ocorrem
  2. Esboce os gráficos da função e de sua derivada. Comente o comportamento de f em relação aos sinais e valores de f ´

f x = - 2 x + tan ⁡ x   -   π 2 < x < π 2

Passo 1

a)

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f   para encontrar os pontos críticos:

f ' x = - 2 +   s ec 2 ⁡ x

Igualamos a zero

- 2 +   s ec 2 ⁡ x = 0

  s ec 2 ⁡ x = 2

x = -   π 4 ou π 4

Passo 2

Agora, vamos verificar os valores encontrados como pontos críticos, vara verificar os pontos de máximo e mínimo da função:

Logo,

f - π 4 = π 2 - 1 :

f π 4 = 1 - π 2

Bom, então o valor de máximo local é π 2 - 1 quando x =   - π 4 .

Já os valor de mínimo local é 1 - π 2 , quando x = π 4

Passo 3

A questão pede para comentar o comportamento da f e da f ' em seus gráficos. Primeiro observe o gráfico abaixo:

Galera, pelo gráfico acima podemos notar o seguinte: a f   aumenta quando f ' > 0 e tem seus extremos locais onde f ' = 0 . A função tem um mínimo local quando x =   π 4 , nesse valor a f ' muda de negativa para positiva.

Ainda é possível perceber que a f   tem um valor máximo em x = - π 4 , nesse ponto a f ' muda de positiva para negativa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o gráfico para estabelecer os valores de máximo e mínimo locais e absolutos da função.
Encontre os números críticos da função. f x = x ln ⁡ x
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado. f x = x - 2 cos ⁡ x;[ - π , π ]