Enunciado

53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.

54. b) Se f e g forem côncavas para cima em um intervalo, então f . g também será.

Passo 1

Então pessoal, segundo a literatura temos que se f e g   forem côncavas para cima em um intervalo qualquer, então isso implica que elas são funções crescentes no mesmo intervalo. Dessa forma, caso não se lembrem da definição de função crescente:

f   é crescente no intervalo se f x 1 < f x 2 sempre que x 1 < x 2 ”.

Vamos tomar as funções f e g como:

f x = x - 1 2

g x = x + 1 2

As duas funções possuem concavidade para cima no intervalo - ∞ ,   + ∞ . No entanto, se fizermos o produto entre elas:

f . g = x 2 - 1 2

Beleza, até aqui estamos bem, certo? Vamos continuar no próximo passo!

Passo 2

Para a afirmação ser verdadeira então o produto das funções que escrevemos no passo anterior tem que possuir concavidade para cima no intervalo - ∞ ,   + ∞ . Descobrindo f . g ' ' x :

f . g ' x = 2 . x 2 - 1 . 2 x = 4 x . x 2 - 1

f . g ' ' x = 12 x 2 - 4 = 4 3 x 2 - 1

Vendo se a função possui concavidade para baixo (não pode haver para a afirmação estar correta):

4 3 x 2 - 1 < 0

3 x 2 < 1

x 2 < 1 3

∴ x < 1 3   o u   x > - 1 3

Opa, aqui temos um problema! A nossa função produto possui intervalo que apresenta concavidade para baixo. Dessa forma, podemos concluir que a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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