Enunciado

Se f for crescente em um intervalo 0 ,   b , segue da Definição 4.1 . 1 que f 0 < f x com qualquer x do intervalo 0 ,   b . Use esse resultado nesses exercícios.

Use um recurso gráfico para fazer uma conjectura sobre os tamanhos relativos de 1 - x 2 / 2 e de cos ⁡ x com x ≥ 0 e prove sua conjectura. [Sugestão: Use o resultado do Exercício 43 .]

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, precisamos usar as definições e usos das derivadas.

Nesse caso em questão, temos a sugestão dada para verificar o comportamento e o tamanho das funções através de um gráfico.

Assim, usando a derivada, podemos descobrir qual o comportamento delas, tal que a função é crescente se a sua derivada resultar em um valor maior que 0 dentro de um intervalo aberto.

Passo 2

Então, seguindo o pedido do nosso exercício, foi usado o Software online chamados Desmos para esboçar o gráfico das funções, no qual foi obtido:

Passo 3

Então, através do gráfico feito, podemos ver que para x ≥ 0 :

cos ⁡ x ≥ 1 - x 2 2

Podemos reescrever essa inequação como:

1 - x 2 2 - cos ⁡ x ≤ 0

E então obtemos a função que desejamos analisar para provar a nossa conjectura:

f x = 1 - x 2 2 - cos ⁡ x

Passo 4

Dessa forma, derivando a função:

f ' x = - x + s e n x

Vemos que a função é decrescente para todos os valores x ≥ 0 , porque sua derivada é menor do que zero para o intervalo 0 ,   + ∞ .

Com esse resultado e com a Definição 4.1 . 1 , podemos concluir que:

f x ≤ f 0

Visto que:

f x = 1 - x 2 2 - cos ⁡ x ≤ f 0 = 0

Então, se x ≥ 0 , essa inequação pode ser reescrita como:

1 - x 2 2 - cos ⁡ x ≤ 0

Portanto:

1 - x 2 2 ≤ cos ⁡ x

Resposta

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