Enunciado

55. Ache int_4^(16) [D_x int_5^x (2 sqrt(t) - 1) d t] d x .

Passo 1

Precisamos integrar duas vezes essa expressão começando pela integral de dentro, ok?

Passo 2

Bem, a integral de dentro é:

D_x int_5^x (2 sqrt(t) - 1) d t

Esse símbolo D_x é derivada em relação a x . Então é a derivada em x da integral em t . Oi?? É, a derivada em uma variável da integral em outra. E tem um teorema no livro, o 5.8.1, primeiro teorema fundamental do cálculo que estabelece:

F (x) = int_a^x f (t) d t

E

F^' (x) = f ( x ) (derivando a integral de cima dá isso aqui!)

Percebeu a semelhança?

A gente quer a derivada em x ( D_x ) de uma integral (com limite superior x ) ) em outra variável ( t ), isso vai dar f (x) . Assim ó

D_x int_5^x (2 sqrt(t) - 1) d t = (2 sqrt(x) - 1)

Passo 3

Agora, substituímos e resolvemos a integral de fora...

int_4^(16) (2 sqrt(x) - 1) d x

Tranquilo daqui em diante ;)

[(4)/(3) x^((3)/(2)) - x]_4^(16) =

[( (4)/(3) 16^((3)/(2)) - (4)/(3) 4^((3)/(2)) ) - ( 16 - 4 )] =

[((256)/(3) - (32)/(3)) - ( 4 )] =

(188)/(3)

Prontinho

Resposta

int_4^(16) [D_x int_5^x (2 sqrt(t) - 1) d t] d x = (188)/(3)

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