Enunciado

56-Suponha que f seja contínua no intervalo [ 0,1 ] e que 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 para todo x nesse intervalo.

a)Esboce o gráfico de y = x junto a um gráfico possível de f sobre o intervalo [ 0,1 ] .

b)Use o Teorema do Valor Intermediário para ajudar a provar que existe pelo menos um número c no intervalo [ 0,1 ] tal que f c = c

Passo 1

a)Nosso f ( x ) vai ser s e n   x . Ok ?

Assim,

Onde o gráfico da função vermelha é f ( x ) e o verde de y = x .

Passo 2

b) Galerisss, o exercício quer que a gente prove que existe pelo menos um c no intervalo dado, tal que f c = c , certo ?

Podemos substituir f c = c por f x = x , né ? E, podemos fazer melhor que isso, já que y x = x . Dessa forma,

f x = y x → f x - y x = F ( x )

Como o enunciado diz: f ( x ) ≥ 0 . Assim,

F 0 = f 0 - y 0

= f 0 - 0

F ( 0 ) ≥ 0

Também temos que: f ( x ) ≤ 1 . Dessa forma,

F 1 = f 1 - y ( 1 )

= f 1 - 1

F ( 1 ) ≤ 0

Você pode estar se perguntando.... Onde que o TVI entra nessa história ????

Calma que eu já vou te mostrar....

Lembrando que o Teorema nos diz o seguinte:

Se f for uma função contínua em [ a , b ] e se f ( a ) e f ( b ) forem diferentes de zero com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para a equação f x = 0 no intervalo a , b .

Caraaaa, nós que F ( 0 ) ≥ 0 e F ( 1 ) ≤ 0 , ou seja, F ( 0 ) e F ( 1 ) tem valores diferentes. Pelo TVI como F ( x ) é contínua, existe um x 0 em [ 0,1 ] , tal que F x 0 = 0 . Logo,

f 0 = y 0 = 0

Fechou ???

Resposta

a)Gráfico acima.

b)Demonstração acima.

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