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5-8. Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?

6. ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n + 1

Passo 1

Então galera, essa questão quer que testemos nosso conceito sobre séries. Como assim? Uma série é dita divergente ou convergente se, somente se, a sequência de somas parciais também for divergente ou convergente, respectivamente. A sequência que nos foi dada é:

s n = 1 ln ⁡ n + 1

Para calcularmos os oito primeiros termos da sequência de somas parciais, teremos que fazer:

s 1 = a 1

s 2 = s 1 + a 2

s 3 = s 2 + a 3

s 8 = s 7 + a 8

Se notarmos que a sequência está tendendo para um valor fixo, então a conclusão será de que a mesma é convergente. Caso contrário, então a conclusão será de que a mesma é divergente. Sem mais delongas, mãos à obra!

Passo 2

Calculando os termos da sequência, teremos:

s 1 = 1 ln ⁡ 1 + 1 = 1,4427

s 2 = 1,4427 + 1 ln ⁡ 2 + 1 = 2,3529

s 3 = 2,3529 + 1 ln ⁡ 3 + 1 = 3,0743

s 4 = 3,0743 + 1 ln ⁡ 4 + 1 = 3,6956

s 5 = 3,6956 + 1 ln ⁡ 5 + 1 = 4,2537

s 6 = 4,2537 + 1 ln ⁡ 6 + 1 = 4,7676

s 7 = 4,7676 + 1 ln ⁡ 7 + 1 = 5,2485

s 8 = 5,2485 + 1 ln ⁡ 8 + 1 = 5,7036

Podemos notar que a sequência não está tendendo para um valor específico. Sendo assim, a conclusão é de que a série é divergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n + 1   é   d i v e r g e n t e

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