Enunciado

Calcule a soma

sum_(k = 1)^5 (k^3)/(225) + (sum_(k = 1)^5 k)^3

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos começar por organizar o nosso somatório. Utilizando a regra de multiplicação de uma constante, temos:

sum_(k = 1)^5 (k^3)/(225) + (sum_(k = 1)^5 k)^3 = (1)/(225) * sum_(k = 1)^5 k^3 + (sum_(k = 1)^5 k)^3

Todas as possíveis mudanças já foram feitas, temos que calcular agora sum_(k = 1)^5 k^3 e sum_(k = 1)^5 k através das relações discutidas durante a seção.

Passo 3

Na seção do livro vimos que a soma dos n primeiros números inteiros é dado por:

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Portanto, para n = 5 , temos:

sum_(k = 1)^5 k = (5 ( 5 + 1 ))/(2) = 15

Passo 4

Já a soma dos primeiros n cubos, a relação é:

sum_(k = 1)^n k^3 = ((n (n + 1))/(2))^2

Portanto, temos:

sum_(k = 1)^5 k^3 = ((5 (5 + 1))/(2))^2 = 15^2 = 225

Passo 5

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 3 e 4 na relação descrita no Passo 2. Sendo assim, o somatório é igual a:

sum_(k = 1)^5 (k^3)/(225) + (sum_(k = 1)^5 k)^3 = (1)/(225) * 225 + (15)^3 = 3376

Resposta

sum_(k = 1)^5 (k^3)/(225) + (sum_(k = 1)^5 k)^3 = 3376

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