Enunciado

5.(a)Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x 3 no ponto ( - 1 , - 1 )

  1. Usando a Definição 1
  2. Usando a Equação 2

(b) Encontra a equação da reta tangente da parte (a)

(c) Faça um gráfico da curva e da reta tangente em retângulo cada vez menores centrados no ponto ( - 1 , - 1 ) até que a curva e a tangente fiquem não distinguíveis.

Passo 1

Nesse passo, vou mostrar a definição 1 e a equação 2 :

Definição 1 :

m = lim x → a ⁡ f ( x ) - f ( a ) x - a

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) )

Equação 2 :

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) ) e h = x - a .

A equação da reta tangente será:

y - y o = m ( x - x o )

Em que   ( x o ,   y o ) é o ponto de tangência.

Passo 2

Sem mais enrolação, vamos lá!

O ponto de tangência é o ponto ( - 1 , - 1 ) , então:

A questão já nos dá o f ( - 1 ) = - 1

Pela definição 1:

m = lim x → - 1 ⁡ f ( x ) - f ( - 1 ) x - ( - 1 )

m = lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x + 1

Fatorando o x 3 + 1 , pois se substituirmos o valor de x = - 1 na expressão acima, teremos uma indeterminação do tipo 0 0 .

x 3 + 1 = ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

m = lim x → - 1 ⁡ ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) x + 1

“Cortando” o ( x + 1 ) no denominador (parte de cima) e ( x + 1 ) no numerador (parte de cima), temos:

m = lim x → - 1 ⁡ ( x 2 - x + 1 ) = 3

Pela definição 1, o coeficiente angular da reta é 3 , faremos agora pela equação 2 e tem que dar o mesmo resultado hein! Serve até como prova real.

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

a = - 1

m = lim h → 0 ⁡ f ( - 1 + h ) - f ( - 1 ) h

Anotando algumas coisas para não nos enrolarmos:

f ( - 1 + h ) = ( - 1 + h ) 3 = - 1 + 3 h - 3 h 2 + h 3

f ( - 1 ) = - 1 isso foi dado no problema hein, não esquece:

Substituindo tudo no cálculo do limite temos:

m = lim h → 0 ⁡ - 1 + 3 h - 3 h 2 + h 3 + 1 h

m = lim h → 0 ⁡ 3 h - 3 h 2 + h 3 h

Botando o h em evidência, temos:

m = lim h → 0 ⁡ h ( 3 - 3 h + h 2 ) h

Cortando o h de cima e de baixo, temos:

m = lim h → 0 ⁡ ( 3 - 3 h + h 2 ) = 3

Obaaa! Deu igual, estamos pensando certo!

Passo 3

Para não ficar muito grande o passo 2 , iremos achar a equação da reta tangente e o gráfico da curva com a reta tangente nesse passo.

Lembrando que a equação da reta é da seguinte forma:

y - y o = m ( x - x o )

Em que o ponto   ( x o , y o ) = ( - 1 , - 1 ) e m = 3

y - ( - 1 ) = 3 ( x - ( - 1 ) )

y + 1 = 3 ( x + 1 )

y + 1 = 3 x + 3

y = 3 x - 2

(c) Agora faremos o gráfico da curva e da reta tangente:

Resposta

( a ) m = 3

( b )  

y = 3 x - 2

(c)

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