Enunciado

O ponto P 1 , 1 2 pertence à curva y = x / ( 1 + x )

  1. Se Q é o ponto ( x , x / ( 1 + x ) ) , use sua calculadora para determinar o coeficiente da reta secante P Q , com precisão de 6 casas decimais, para os seguintes valores de x
    1. 0,5
    2. 0,9
    3. 0,99
    4. 0,999
    5. 1,5
    6. 1,1
    7. 1,01
    8. 1,001
  2. Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P ( 1   ,   1 / 2 ) .
  3. Utilize a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta tangente à curva em P ( 1   ,   1 / 2 ) .

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essas questão juntinhos!

Aqui a gente tem uma curva:

y = x 1 + x

E queremos achar o coeficiente angular da reta secante P Q , sendo que:

P = 1 , 1 2

Q = x Q , x Q 1 + x Q

Pra achar o coeficiente angular de uma reta quando temos 2 pontos, é bem simples, é só fazer a variação em y sobre a variação em x :

m = y P - y Q x P - x Q

Já aplicando aos nossos valores:

m = 1 2 - x Q 1 + x Q 1 - x Q

Então basta a gente substituir os valores de x dados pelo enunciado, pra achar o coeficiente angular de cada secante.

No item b, queremos a tangente em P , então precisamos lembrar que a reta tangente só cruza a curva em um único ponto. Como a secante cruza a reta em 2 pontos, a gente poderia pensar que a tangente é uma secante em que Q = P . Então a gente pode aplicar um limite pra que:

x Q → x P

E no item c, já tendo o coeficiente angular m da tangente, basta encontrar o coeficiente linear b pra completar a equação da reta:

y = m x + b

Passo 2

Começando pela letra a, queremos os coeficientes angulares das secantes em que o x do ponto Q assume os valores a seguir:

  1. 0,5
  2. 0,9
  3. 0,99
  4. 0,999
  5. 1,5
  6. 1,1
  7. 1,01
  8. 1,001

Então basicamente a gente substituir esses valores na equação que já achamos no passo 1:

m = 1 2 - x Q 1 + x Q 1 - x Q

  1. 0,5
  2. m = 1 2 - 0,5 1 + 0,5 1 - 0,5 = 0,333333

  3. 0,9
  4. m = 1 2 - 0 , 9 1 + 0 , 9 1 - 0,9 = 0,263158

  5. 0,99
  6. m = 1 2 - 0 , 9 9 1 + 0 , 9 9 1 - 0,9 9 = 0,251256

  7. 0,999
  8. m = 1 2 - 0 , 9 9 9 1 + 0 , 9 9 1 - 0,9 9 9 = 0,250125

  9. 1,5
  10. m = 1 2 - 1,5 1 + 1,5 1 - 1,5 = 0,2 00000

  11. 1,1
  12. m = 1 2 - 1,1 1 + 1,1 1 - 1,1 = 0,2 38095

  13. 1,01
  14. m = 1 2 - 1,01 1 + 1,01 1 - 1,01 = 0,2 48756

  15. 1,001

m = 1 2 - 1,001 1 + 1,001 1 - 1,001 = 0,2 49875

Show! Essa já foi!

Passo 3

Agora vamos para a letra b, usando os valores que encontramos, vamos montar uma tabela:

E temos que estimar o valor da inclinação da reta tangente.

Repara que os valores de x Q vão se aproximando de x P = 1 , pela direita e pela esquerda. E isso é justamente o que queremos: o limite pra quando x Q → x P .

O valor x Q = 1 ficaria exatamente na linha vermelha da tabela. Então, podemos olhar de qual valor m está se aproximando nessa linha.

O valor abaixo é um pouquinho menor que 0,25 e o valor acima é um pouquinho maior que 0,25. Então estimamos que a inclinação da reta tangente em P é:

m ≈ 0,25

ou

m ≈ 1 4

Passo 4

Para finalizar vamos resolver a letra c! Vamos achar uma equação para a reta tangente…

y = m x + b

E como já temos m ,

y = 1 4 x + b

basta achar o b . E pra isso podemos usar qualquer ponto da reta.

Só temos um ponto, então é ele mesmo o escolhido:

P 1 ,   1 2

Vamos substituir:

1 2 = 1 4 . 1 + b

b = 1 4

𝐸ntão a reta tangente fica:

y = x 4 + 1 4

y = x + 1 4

Uhul! Conseguimos!

Resposta

  1. m ≈ 0,25 = 1 4
  2. y = x + 1 4
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