7 -42 Encontre a derivada da função.

y = sen(tan(raiz(sen(x))))

Passo 1

Opa, bora encontrar a derivada da função:

y = sen ⁡ tan ⁡ sen ⁡ x

A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

Para derivar ela a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso, temos que a função de fora é o seno:

f g x = sen ⁡ tan ⁡ sen ⁡ x

e a derivada do seno é o cosseno.

Já a função de dentro é:

g x = tan ⁡ sen ⁡ x

e sua para calcular sua derivada será necessário utilizar mais uma vez a regra da cadeia. Mas por enquanto podemos escrever a derivada de y como sendo:

y ' = cos ⁡ tan ⁡ sen ⁡ x d d x tan ⁡ sen ⁡ x

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para calcular g x podemos escrever a derivada de y como sendo:

A derivada da tangente é a secante ao quadrado, então:

y ' = cos ⁡ tan ⁡ sen ⁡ x sec 2 ⁡ sen ⁡ x d d x sen ⁡ x

Novamente será necessária a regra da cadeia:

A derivada da raiz quandrada é:

d d x x = 1 2 x  

Portanto a derivada de y vai ficar:

y ' = cos ⁡ tan ⁡ sen ⁡ x sec 2 ⁡ sen ⁡ x 1 2 sen ⁡ x d d x sen ⁡ x

E aqui finalmente chegamos em nossa resposta, pois a derivada do seno é o cosseno:

y ' = cos ⁡ tan ⁡ sen ⁡ x sec 2 ⁡ sen ⁡ x 1 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Prontinho!

Resposta

y ' = cos ⁡ tan ⁡ sen ⁡ x sec 2 ⁡ sen ⁡ x 1 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

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