Enunciado

64. Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 2 - x e pelas retas x = 1 e x = 4 em torno do eixo x.

Passo 1

Primeiro vamos visualizar a figura que está sendo rotacionada, a imagem a seguir mostra a figura.

Vamos resolver esse problema usando o método dos discos.

Como essa figura está girando em torno da reta x, nosso disco imaginário estaria na vertical e a espessura do disco é dx, então temos que:

d V = π R 2 ⋅ d x

Então como o d V depende de d x precisamos achar R em termos de x.

Assim:

R = 2 - x

Logo:

V = π ∫ 1 4 2 - x 2   d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 1 a 4 na região limitada.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral.

V = π ∫ 1 4 2 - x 2   d x

= π ∫ 1 4 2 - 2 x d x

Podemos escrever o integrando da seguinte maneira:

2 - 2 x = e - 2 x ⋅ l n ⁡ ( 2 )

Assim:

π ∫ 1 4 2 - 2 x d x = π ∫ 1 4 e - 2 x ⋅ l n ⁡ ( 2 ) d x

Passo 3

Para continuar a resolver a integral vamos fazer a seguinte substituição:

u = - 2 x ⋅ ln ⁡ ( 2 )

d u = - 2 ⋅ ln ⁡ 2 d x ⇒ d x = - d u 2 ⋅ ln ⁡ ( 2 )

Nossa integral toma a seguinte forma:

π ∫ 1 4 e - 2 x ⋅ l n ⁡ ( 2 ) d x = - π ∫ 1 4 e u ⋅ 1 2 ⋅ ln ⁡ ( 2 ) d u

= - π 2 ⋅ ln ⁡ 2 ∫ 1 4 e u d u

= - π 2 ⋅ ln ⁡ 2 ( e u ) 1 4  

Para continuar a resolução vamos voltar a variável original.

- π 2 ⋅ ln ⁡ 2 ( e u ) 1 4 = - π 2 ⋅ ln ⁡ 2 ( e - 2 x ⋅ ln ⁡ ( 2 ) ) 1 4

= - π 2 ⋅ ln ⁡ 2 ( e - 2 ⋅ 4 ⋅ ln ⁡ 2 - e - 2 ⋅ 1 ⋅ ln ⁡ 2 )

= - π 2 ⋅ ln ⁡ 2 e - 8 ⋅ ln ⁡ 2 - e - 2 ln ⁡ 2

= - π 2 ⋅ ln ⁡ 2 e ln ⁡ 2 - 8 - e ln ⁡ 2 - 2

= - π 2 ⋅ ln ⁡ 2 2 - 8 - 2 - 2

= - π ln ⁡ 2 2 - 9 - 2 - 3

= π ln ⁡ 2 1 2 3 - 1 2 9 = π ln ⁡ ( 2 ) ⋅ 63 512

Resposta

O volume do sólido de revolução é:

V = 63 π 512 ⋅ ln ⁡ 2

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