Enunciado

7-19 Prove a indentidade

13. cotg^2 x - 1 = cossech^2 x

Passo 1

Gente quando fizeram a tradução desse livro houve um pequeno erro de digitação nessa questão, a indentidade que deveria estar escrita é:

cotgh^2 x - 1 = cossech^2 x

Agora sim da pra resolver, vamos lá:

A cotangente hiperbólica pode ser escrita como:

cotgh x = (cossech x)/(sech x)

Vamos substituir isso na expressão:

((cossech x)/(sech x))^2 - 1 = cossech^2 x

A secante é um sobre o cosseno e a cossecante é um sobre o seno, então vamos escrever:

((co sh x)/(sen h x))^2 - 1 = (1)/(se n h^2 x)

Fazendo a soma do lado esquerdo da igualdade:

(cosh^2 x - senh^2 x)/(senh^2 x) = (1)/(senh^2 x)

Então

cosh^2 x - senh^2 x = 1

Podemos verificar isso substituindo o seno e o cosseno hiperbólico por seus valores:

((e^x + e^(- x))/(2))^2 - ((e^x - e^(- x))/(2))^2 = 1

((e^(2 x) + 2 e^x e^(- x) + e^(- 2 x)) - (e^(2 x) - 2 e^x e^(- x) + e^(- 2 x)))/(4) = 1

Perceba que e^x e^(- x) = 1 , então

(e^(2 x) - e^(2 x) + 2 + 2 + e^(- 2 x) - e^(- 2 x))/(4) = 1

(4)/(4) = 1

Prontinho, ta provada a identidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre o valor numérico de cada expressão.s e n h 1 ; s e n h^(- 1) 1 .
Demonstre a identidade: cosh ⁡ x + senh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + senh ⁡ n x ( n qualquer número real)
Demonstre a identidade: 1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x
Se cosh ⁡ 5 3 e x0 , encontre os valores das outras funções hiperbólicas em x .
Prove que a função seno hiperbólico é contínua e crescente em todo o seu domínio.