Enunciado

6-Num círculo de raio R, traçam-se duas cordas paralelas, em cima e outra abaixo do centro, e constrói-se um trapézio isósceles. Determinar as distâncias das duas cordas ao centro, para que a área do trapézio seja máxima.

Passo 1

Sou só eu que acho que ter uma figura que represente a situação do problema iria ajudar muito ?! Não, né ?!

Então, aqui está a nossa circunferência com o trapézio isósceles.

Como representado na imagem, se nós dividirmos a nosso trapézio ao meio, nós, consequentemente, dividimos as bases dele ao meio (isso porque ao formamos um triângulo isósceles com qualquer uma das bases e os raios, a mediana e a altura coincidem). Esquecendo um pouco essa parte geométrica (que é meio chatinha), temos agora que encontrar a área do nosso trapézio, né ?!

Passo 2

Dos triângulos retângulos que nós temos podemos tirar isso aqui:

R 2 = x 2 + L 2 → L = R 2 - x 2

E

R 2 = m 2 + y 2 → m = R 2 - y 2

Com isso, a área do nosso trapézio fica assim:

S x ,   y = 2 L + 2 m ( x + y ) 2

S x ,   y = R 2 - x 2 + R 2 - y 2 x + y

Ficou feio, né ?! Calma que depois só piora.

Passo 3

Agora, vamos para parte mais cremosa da questão. Não tem como falar de área máxima sem calcular os pontos críticos, né ?! Então, vamos encontrá-los!

∂ S x ,   y ∂ x = R 2 - x 2 + R 2 - y 2 + x + y - x R 2 - x 2 = 0   ( 1 )

∂ S x ,   y ∂ y = R 2 - x 2 + R 2 - y 2 + x + y - y R 2 - y 2 = 0   ( 2 )

A pergunta que fica é: Como resolver esse negócio ??? Eu sugiro que façamos o seguinte:

R 2 - x 2 + R 2 - y 2 = - x + y - x R 2 - y 2

Substituindo isso na segunda equação, temos:

x + y - x R 2 - x 2 = x + y - y R 2 - y 2

Portanto,

R 2 - y 2 = y   R 2 - x 2 x

Passo 4

Se pegarmos essa relação que encontramos e substituirmos em 1 , temos:

R 2 - x 2 + y   R 2 - x 2 x + x + y - x R 2 - x 2 = 0

R 2 - x 2 1 + y x - x x + y R 2 - x 2 = 0

x + y x R 2 - x 2 - x x + y R 2 - x 2 = 0

x + y R 2 - x 2 R 2 - x 2 x - x = 0

Lembrando que x + y R 2 - x 2 ≠ 0 , já que x + y é a altura do nosso trapézio.

Por fim,

R 2 - x 2 x - x = 0

2 x 2 = R 2

x = R 2

Parece que é o fim, mas não é tah ?! Ainda temos que encontrar o y :

R 2 - y 2 = y   R 2 - x 2 x

Substituindo x = R 2 :

R 2 - y 2 = y   R 2 - R 2 2 R 2

R 2 R 2 - y 2 = y R 2

2 y 2 = R 2

y = R 2 = R 2 2

Agora sim, acabamos!

Até a próxima, galera.

Resposta

x = y = R 2 2

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Determine, dentre os paralelepípedos-retângulos de mesmo volume, o de área máxima.
Maximize f x , y , z = x + 2 y + 3 z sujeita às restrições x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x + y + z = 1 .
Determine a superfície de nível da função f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 que seja tangente ao plano x + 2 y + 3 z = 4 . Qual o ponto de tangência?